yusuf demirci
0 Takipçi | 0 Takip
23 12 2010

Çember Analitiği

Çember Analitiği
1 – Merkezi ve Yarıçapı Bilinen Çemberin Denklemi
Analitik düzlemde alınan bir M(a,b) noktasından r birim uzaklıktaki noktaların geometrik yeri (kümesi) bir çember belirtir.
Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çember üzerinde herhangi bir nokta P(x,y) olsun.
|PM|=r olmalıdır. Buradan ; bulunur. Bu da (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r ‘ye eşittir.
Çemberin denklemi (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r dir.

2 – Çemberin Genel Denklemi
Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r idi . Bu denklem açılır ve düzenlenirse ;
x.x + y.y -2ax -2by +a.a +b.b -r.r =0 olur.
Denklemde -2a=A , -2b=B ve a.a+b.b-r.r=C denirse ; x.x+y.y+Ax+By+C=0 elde edilir.
A.A+B.B-4C sayısına çember denkleminin diskriminantı denir.

NOT : a) A.A+B.B-4C>0 ise x.x+y.y+Ax+By+C=0 denklemi gerçel yarıçaplı bir çember belirtir.
Merkezi M(-A/2 , -B/2) olur ve yarıçapı r =(A.A+B.B-4C)/4 olur.
b) A.A+B.B-4C=0 ise x.x+y.y+Ax+By+C=0 denklemi bir nokta belirtir.
Merkezi M(-A/2 , -B/2) olur ve yarıçapı r=0/4 olacağından sayılmaz.
c) A.A+B.B-4C<0 ise x.x+y.y+Ax+By+C=0 denklemi reel bir çember belirtmez . Bu durumda çember sanal yarıçaplı imajiner çemberdir.
Kısaca ; 1 - A.A+B.B-4C>0 ise denklem çember belirtir.
2 – A.A+B.B-4C=0 ise denklem nokta belirtir.
3 – A.A+B.B-4C<0 ise denklem boş küme belirtir.
(x.x+y.y+Ax+By+C=0 çember denkleminde x.x ile y.y 'nin katsayıları eşit ve xy'li terim olmadığına dikkat ediniz.)
3 - Bir Nokta ile Bir Çemberin Konumu
(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r çemberi düzlemi ikiye ayırır.
Bu iki bölge ;
1) {(x,y) |(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)
2) {(x,y) |(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)>r.r } kümesi yani çemberin dış bölgesi olur.

(A(x,y) noktası ile çemberin birbirine göre konumu incelenirken noktanın çemberdeki görüntüsü hesaplanır. Bu durum noktanın çembere kuvveti biçiminde de yorumlanabilir.)
Noktanın çembere kuvvetini P ile gösterirsek ;
I – A(j,l) noktasının x.x+y.y=r.r çemberine göre kuvveti ; P= j.j+l.l-(r.r) olur.
II – A (j,l) noktasının (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r çemberine göre kuvveti P=(j-a)(j-a)+(l-b)(l-b)-r.r olur.
III – A (j,l) noktasının x.x+y.y+Ax+By+C=0 çemberine göre kuvveti P=j.j+l.l+Aj+Bl+C=0 olur.
Kısaca ; a) P>0 ise nokta çember dışında
b) P<0 ise nokta çember içinde
c) P=0 ise nokta çemberde olur.
4 – Bir Doğru ile Çemberin Kesim Noktaları

d : ax+by+c=0 ve x.x+y.y+Ax+By+C=0 denklem sisteminden D ve E noktalarının koordinatları bulunur.
5 – Çemberde Teğet ve Normalin Denklemi

Çember üzerindeki bir A(h,k) noktasında çizilen teğet ve normail denklemi
a) Çember x.x+y.y=r.r ise teğetin denklemi h.x+k.y=r.r dir.
b) Çember (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r ise teğetin denklemi (h-a)(x-a)+(k-b)(y-b)=r.r dir.
c) Çember x.x+y.y+Ax+By+C=0 ise teğetin denklemi h.x+k.y+(h+x)A/2+(k+y)B/2+C=0 dir.
NOT: Teğet ile normal biribirine dik olduğundan normalin denklemi bulunurken teğet denkleminden yararlanılır. Mt.Mn=-1 dir.
Değme Şartı : y=mx+n doğrusunun x.x+y.y=r.r çemberine teğet olması için ; r.r(1+(m.m))=n.n olmalıdır.
6 – Dik Kesişen Çemberler
A kesim noktasından çemberlere çizilen teğetler arasındaki açı 90 derece ise çemberler dik kesişen çemberlerdir. Bu durumda teğetler çemberlerin merkezlerinden geçer.
İki merkezin arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısından |M-M|.|M-M|=r.r+r’.r’ olur.

7 – Dıştan Teğet Olma

|AB|=r1+r2 (Merkezler arası uzaklık yarıçaplar toplamına eşittir.)
8 – İçten Teğet Olma

A ve B merkez |BD|=r1 , |AD|=r2 olsun
|AB| =|r2-r1| olur.

1330
0
0
Yorum Yaz